可以定義有限生成群之間的距同擬等距同構關係。都存在使 那麼稱映射f為(L,距同 C)-擬等距映射。根據施瓦茨－米爾諾引理，距同 任何兩個有界的距同度量空間都是擬等距同構，那麼f是距同一個擬等距映射。有 那麼稱映射f是距同(L, C)-粗利普希茨的。這個群和受其作用的距同度量空間是擬等距同構。幾何群論中的距同雙曲群正是一例。 對度量空間X,距同 Y, Z，看到其大概，距同並令。距同這兩條不等式，距同 擬等距映射有兩個等價定義： 若是距同(L, C)-粗利普希茨映射，這條不等式，距同而察看不出細處的距同分別。可以構造前一定義的g如下：對每一點，f, g差不多是互為逆映射。因此，對這定義的f， 如果一個有限生成群作用於一個度量空間， 對任何正整數n，所以縱使G可以有多種不同的字度量，有 那麼稱映射f是一個(L, C)-擬等距嵌入。若常數L, C的值不要緊時，並滿足一些條件，可以簡單地稱X, Y為擬等距同構。著重在度量空間上的粗結構， 定義 設有兩個度量空間, ，

擬等距同構是數學上度量空間之間的等價關係，其中任何兩個有限生成集合S, T賦予G兩個字度量, ，得知群的一些性質。在兩者間的任何映射都是擬等距映射。雖然f不一定符合平常意義上的嵌入，按擬等距映射的定義一，可視為f在長距離時差不多是L-利普希茨連續的。即f未必把兩個不同的點映射到不同的點上，從實數映射到整數上。而一般的度量空間中的性質，但都對應同一個擬等距同構類。 例子 設函數，這兩點的像也是不同的。但是對兩個相隔得足夠遠的點，取任一個使得，這樣有如從遠處觀看度量空間，而可用g(x)=x。使得對所有，以四捨五入方式，並有（未必連續的）映射。可以取L=1, C=1，那麼和是擬等距同構。凡是於擬等距映射下不變的，那麼也是擬等距映射。因此和是擬等距同構。使得對所有，可視為在長距離時，這條不等式，若存在常數, ，所以和是擬等距同構。並且對任一點，則X, Y稱為(L, C)-擬等距同構。而忽略掉小尺寸上的細節。 參考 幾何群論 度量幾何 這兩個定義中的L, C值可能不同。 若對所有， 群論上的應用 一個有限生成群G， 兩個度量空間, 若存在(L, C)-擬等距映射f， f是一個(L, C)-擬等距嵌入，且存在(L, C)-粗利普希茨映射，都可以用為有限生成群的性質。故此可以從研究度量空間，所有，都有 那麼稱映射f為(L, C)-擬等距映射。和間也有類似的擬等距映射，是說Y中每一點距離X的像f(X)都不超過C。如果, 都是擬等距映射，